Question

在边长为1的正方形ABCD中，点M、N、O、P分别在边AB、BC、CD、DA上．如果AM=BM，DP=3AP，则MN+NO+OP的最小值是

 

．

Answer 1

分析：作点M关于直线BC的对称点M′，过P作关于直线CD的对称点P′，根据两点间线段最短，及勾股定理即可求解．

解答：解：作点M关于直线BC的对称点M′，过P作关于直线CD的对称点P′，连M′P′交BC，CD于N，O，
所以M′N=MN，OP=OP′
MN+NO+OP=NM′+ON+OP′=M′P′
此时MN+NO+OP有最小值，
由作法，得BM′=BM=

1

2

，所以AM′=3/2，
DP′=3/4，AP′=1+3/4=7/4
在直角三角形AM′P′中，M′P′²=AM′²+AP′²=

85

16

，
所以M′P′=

85

4

．
故答案为：

85

4

．

点评：考查了正方形的性质和轴对称-最短路线问题，熟知正方形的性质是解答此题的关键．