Question

a是不为1的有理数，我们把

1

1-a

称为a的差倒数．如：2的差倒数是

1

1-2

=-1，-1的差倒数是

1

1-(-1)

=

1

2

．已知a1=

1

3

，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推，则a₂₀₀₉=

 

．

Answer 1

分析：由已知，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，则a₂=

1

1-a1

，a₃=

1

1-a2

，a₄=

1

1-a3

，…，把a₁=

1

3

代入

1

1-a1

求出a₂的值，用同样的方法分别求出a₃，a₄，…的值，从中找出规律．

解答：由已知，a₁=

1

3

a₂=

1

1-a1

=1÷（1-

1

3

）=

3

2

．
a₃=

1

1-a2

=1÷（1-

3

2

）=-2．
a₄=

1

1-a3

=

1

1-(-2)

=

1

3

=a₁．
则a₅=a₂=

3

2

．
…
得出3 个数一循环．
2009÷3=669…2．
所以a₂₀₀₉=a₂=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：此题考查了学生观察问题分析问题的能力以及探究规律的培养，解答问题的关键是由已知先计算出前面几个数找出规律．