Question

在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，点E在DC的延长线上，AE交BC边于点F，且AE=AB．
（1）如图1，求证：∠B=∠E：
（2）如图2，在（1）的条件下，在BC上取一点M，使BM=CE，连接AM，过M作MH⊥AE于H，连接CH，若∠BAE=∠EHC=60°，CF=2，求线段AH的长．

Answer 1

分析：（1）过点A作AG∥CD交BC于点G，AP⊥BC于点P，AQ⊥CD于点Q，连接AC，先可以得出四边形AGCD是平行四边形，进而得出平行四边形AGCD是菱形，由菱形的性质就可以得出AP=AQ，从而得出Rt△APB≌Rt△AQE，就可以得出结论；
（2）在HE上截取HK=CH，连接MK，AC，由条件可以得出△KHC是等边三角形，由其性质就可以得出△ABM≌△AEC，就有△AMC是等边三角形，进一步得出△MCK≌△ACH，再根据直角三角形的性质和△MFK∽△CFH的性质得出MF的值，最后运用勾股定理就可以得出结论．

解答：解：（1）过点A作AG∥CD交BC于点G，AP⊥BC于点P，AQ⊥CD于点Q，连接AC．
∴∠APG=∠AQE=90°．
∵AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形．
∵AD=CD，
∴平行四边形AGCD是菱形，
∴∠ACP=∠ACD，
∴AP=AQ．
在Rt△APB和Rt△AQE中

AB=AE AP=AQ

，
∴Rt△APB≌Rt△AQE（HL）
∴∠B=∠E；
（2）在HE上截取HK=CH，连接MK，AC．
∵∠KHC=60°
∴△KHC是等边三角形，∠AHC=120°
∴CH=CK，∠HKC=60°．
在△ABM和△AEC中

AB=AE ∠B=∠E  BM=CE

，
∴△ABM≌△AEC
∴∠BAM=∠EAC，AM=AC．
∵∠BAE=60°
∴∠MAC=60°
∴△AMC是等边三角形．
∴AC=CM，∠HCK=∠ACM=60°，
∴∠MCK=∠ACH，
在△MCK和△ACH中

MC=AC ∠MCK=∠ACH CK=CH

，
∴△MCK≌△ACH，
∴MK=AH，∠AHC=∠MKC=120°
∴∠MKF=120°-60°=60°
∵MH⊥AH
∴∠HMK=30°
设CH=CK=HK=a
在Rt△MHK中，则有MK=AH=2a
在Rt△MHK中 MH²+HK²=MK²
∴MH=

3

a
∵∠CHF=60°，
∴∠MKF=∠CHF．
∵∠MFK=∠CFH，
∴△MFK∽△CFH，
∴

MK

CH

=

MF

CF

，
∴

2a

a

=

MF

2

，
∴MF=4．
∴AM=MC=4+2=6
在Rt△AHM中 MH²+AH²=AM²
∴(2a)2+(

3

a)2=62，
解得：a1=

6

7

7

a2=-

6

7

7

（舍去）
∴AH=2a=

12

7

7

．

点评：本题考查平行四边形的判定及性质的运用，菱形的判定急性子的运用，等边三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键．