Question

9．直角三角形的三边的长是正整数，且有一条直角边的长是2008，那么另一条直角边的取值的个数最多为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 7
• D． 10

Answer 1

分析 设斜边为y，另一直角边为x，则存在y²-x²=2008²，题目中要求x、y为整数，根据因式分解可以求出x、y的数值即可解题．

解答 解：设斜边为y，另一直角边为x，
则存在y²-x²=2008²，
即（y+x）（y-x）=2008²，
∵2008²=2×（2008×1004）=4×（2008×502）=8×（1004×502）=16×（502×502）=32×（251×502）=502×（32×251）=1004×（16×251），
可得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2008×1004}\\{y-x=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2008×502}\\{y-x=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1004×502}\\{y-x=8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=502×502}\\{y-x=16}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=251×502}\\{y-x=32}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=32×251}\\{y-x=502}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=251×16}\\{y-x=1004}\end{array}\right.$
方程组均有整数解，那么另一条直角边的取值的个数最多为7，
故选C．

点评 本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了因式分解的解题方法，本题中运用因式分解法计算x、y是解题的关键．