Question

设二次函数y=-x²-mx+m+2的图象顶点为A，与x轴两个交点为B、C，则△ABC的面积的最小值是________．

Answer 1

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分析：设出函数与x轴的交点坐标，利用根与系数的关系求出BC长度的表达式，再求出抛物线的顶点坐标，然后表示出△ABC的面积并化为完全平方式，即可求出△ABC的面积的最小值．
解答：设B（x₁，0），C（x₂，0），则x₁，x₂，是方程-x²-mx+m+2=0的两实根，
由根与系数的关系得，x₁+x₂=-m，x₁•x₂=-（m+2），
则|BC|=|x₂-x₁|===，
又顶点纵坐标为，
故S_△ABC=，
由m²+4m+8=（m+2）²+4得，
当m=-2时，△ABC的面积最小，为1．
故答案为：1．
点评：此题考查了二次函数图象与x轴交点间的距离和抛物线的顶点坐标的求法．将面积问题转化为二次函数最值问题是解答的关键．