Question

设二次函数y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的图象与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于C点，线段AO与OB的长的积等于6（O是坐标原点），连接AC、BC，求sinC的值．

Answer 1

分析：设二次函数y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的图象与x轴的两交点A、B的坐标为（x₁，0），（x₂，0），那么OA=|x₁|，OB=|x₂|，根据根与系数的关系可以得到x₁+x₂=-（m-2），x₁x₂=-3（m+1），而线段AO与OB的长的积等于6，由此可以求出m，也就求出了抛物线的解析式，然后求出A、B、C三点坐标，最后利用三角函数的定义即可求出sinC的值．

解答：解：∵二次函数y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的图象与x轴交于A、B两点（A在B左边），
∴设A、B的坐标为（x₁，0），（x₂，0），
∴OA=|x₁|，OB=|x₂|，
∴x₁+x₂=-（m-2），x₁x₂=-3（m+1），
而线段AO与OB的长的积等于6，
∴3（m+1）=±6，
∴m=1或-3，
当m=1时，抛物线解析式为y=-x²-x+6，
∴A、B的坐标为（-3，0），（2，0），C（0，6）
∴AC=3

5

，BC=2

10

，AB=5，
如图抛物线过A作AD⊥BC于D，
则S_△ABC=

1

2

CO•BA=

1

2

AD•BC，
∴AD=

CO×BA

BC

=

3

4

10

，
∴sinC=

AD

AC

=

2

4

；
当m=-3时，抛物线解析式为y=-x²-5x-6，
∴A、B的坐标为（-3，0），（-2，0），C（0，-6）
∴AC=3

5

，BC=2

10

，AB=1，
如图抛物线过A作AD⊥BC于D，
则S_△ABC=

1

2

CO•BA=

1

2

AD•BC，
∴AD=

CO×BA

BC

=

3

10

10

，
∴sinC=

AD

AC

=

2

10

；
所以sinC的值为

2

4

或

2

10

．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点，也考查了三角函数的定义、根与系数的关系和待定系数法确定函数的解析式，综合性比较强，对学生的能力要求比较高，平时应该加强训练．