Question

设二次函数y=x²+2ax+

a2

2

（a＜0）的图象顶点为A，与x轴交点为B、C，当△ABC为等边三角形时，a的值为

 

．

Answer 1

分析：根据已知的二次函数关系式，得出顶点坐标，用含x₁、x₂的式子表示出BC的长度；又利用BC在△ABC中与AD的关系，即可得出一个等式，解这个式子即可得出a的值（注意舍去不符合题意的值）．

解答：解：二次函数y=x²+2ax+

a2

2

（a＜0）
可得其顶点坐标为（-a，-

a2

2

），
设抛物线与x轴的两个交点为B（x₁，0）、C（x₂，0）
则x₁+x₂=-2a，x₁•x₂=

a2

2

，
对称轴与x轴的交点为D，
∴|BC|=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=-

2

a，
又△ABC为等边三角形，
所以|AD|=

3

2

|BC|，
即

a2

2

=

3

2

|BC|，
代入即有a²+

6

a=0，
所以a=-

6

或a=0（舍去）．
故答案为：-

6

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和有关三角形的一些知识．在求的结果中要注意得出值的取舍问题．