Question

17．如图所示，在半圆O中，AB为直径，P为弧AB的中点，分别在弧AP和弧PB上取中点A₁和B₁，再在弧PA₁和弧PB₁上分别取中点A₂和B₂，若一直这样取中点，求∠A_nPB_n=180°-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$×180°．

Answer 1

分析 根据已知条件AB为⊙O直径，P为弧AB的中点，弧AP和弧PB上取中点A₁和B₁，得到∠A₁OB₁=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×$180°，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到∠A₁PB₁=180°-$\frac{1}{2}∠$A₁OB₁=180°-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×180°=180°-$\frac{1}{{2}^{2}}$×180，进一步得到∠A₂PB₂=180°-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×$180°=180°-$\frac{1}{{2}^{3}}$×180°，即可得到结论．

解答 解：∵AB为⊙O直径，P为弧AB的中点，弧AP和弧PB上取中点A₁和B₁，
∴∠A₁OB₁=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×$180°，
∴∠A₁PB₁=180°-$\frac{1}{2}∠$A₁OB₁=180°-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×180°=180°-$\frac{1}{{2}^{2}}$×180，
∴∠A₂PB₂=180°-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×$180°=180°-$\frac{1}{{2}^{3}}$×180°，
…
∴∠A_nPB_n=180°-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$×180°，
故答案为：180°-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$×180°．

点评 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，找准规律是解题的关键．