题目内容

如图，抛物线y=- $数学公式$ x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且抛物线的对称轴为直线x=1，设∠ABC=α，且cosα= $数学公式$ ．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）动点P从点A出发，沿A→B→C方向，向点C运动；动点Q从点B出发，沿射线BC方向运动．若P、Q两点同时出发，运动速度均为1个单位长度/秒，当点P到达点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
①试求△APQ的面积S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
②在运动过程中，是否存在这样的t的值，使得△APQ是以AP为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）- $\text{[math]}$ =1，- $\text{[math]}$ =1，b= $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+c；
∵C（0，c），
∴OC=c，
∵cosα= $\text{[math]}$ ，
∴tanα= $\text{[math]}$ ；
∴OB= $\text{[math]}$ c，
∴B（ $\text{[math]}$ c，0），
代入解析式中，得：0=- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ c²+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x+c，c=6；

∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+6；
令y=0，x²-2x-48=0，x=8或x=-6；
∴A（-6，0），B（8，0），C（0，6）．

（2）①1°如图1，0＜t≤14；
则S= $\text{[math]}$ t× $\text{[math]}$ t，即S= $\text{[math]}$ t²；
2°如图2，14≤t≤24；
∵PQ=AB=6+8=14，AH= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ ，
∴S= $\text{[math]}$ ×14× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

故S= $\text{[math]}$ ．

②1°如图3，0＜t≤14；
a、AP=AQ，则AP²=AQ²，
∴t²=（ $\text{[math]}$ t）²+（14- $\text{[math]}$ t）²，
解得t= $\text{[math]}$ ；
b、AP=PQ，则AP²=PQ²，
∴t²=（ $\text{[math]}$ t）²+[ $\text{[math]}$ t-（14-t）]²，
解得t=14或t= $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）；
∴t=14．
2°如图4，14≤t≤24，

a、AP=AQ，则AP²=AQ²，
[ $\text{[math]}$ （t-14）]²-[14-（t-14）• $\text{[math]}$ t]²=（ $\text{[math]}$ t）²+（14- $\text{[math]}$ t）²，
解得t= $\text{[math]}$ ；
b、AP=PQ，则AP²=PQ²，
[ $\text{[math]}$ （t-14）]²+[14-（t-14）• $\text{[math]}$ ]²=14²，
解得t= $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）或t=14，
∴t=14；
综上可知：t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ 或t=14时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形．
分析：（1）根据抛物线的对称轴可求得b的值；然后用c表示出C点坐标，根据∠α的余弦值可求得∠α正弦值，进而可用c表示出点B的坐标，由于抛物线的图象经过点B，将B点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得c的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）①此题应分两种情况讨论：
1°当P在线段AB上，即0＜t≤14时，可用t表示出AP、BQ的长，根据∠α的正弦值，可用BQ表示出AP边上的高，进而可由三角形的面积公式得到S、t的函数关系式；
2°当P在线段BC上，即14≤t≤24时，由于P、Q的速度相同，所以PQ的长不变，而A到直线BC的距离也是定植，所以此时的S值不变．
②同①也分两种情况考虑：1、点P在线段AB上，2、点P在线段BC上；可分别用t表示出AP、PQ、AQ的长，然后根据AP=PQ或AP=AQ两种不同等量关系列出关于t的方程，进而求得t的值．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法以及等腰三角形的构成条件等重要知识；在涉及动点问题时，一定要注意分类讨论思想的运用，以免漏解．