Question

如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转得到正方形A′B′C′D′，，则图中阴影部分的面积为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：设B′C′与CD交于点E．由于阴影部分的面积=S_{正方形ABCD}-S_{四边形AB′ED}，又S_{正方形ABCD}=1，所以关键是求S_{四边形AB′ED}．为此，连接AE．根据HL易证△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°．在直角△ADE中，由正切的定义得出DE=AD•tan∠DAE=．再利用三角形的面积公式求出S_{四边形AB′ED}=2S_△ADE．
解答：解：设B′C′与CD交于点E，连接AE．
在△AB′E与△ADE中，∠AB′E=∠ADE=90°，
∵，
∴△AB′E≌△ADE（HL），
∴∠B′AE=∠DAE．
∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，
∴∠B′AE=∠DAE=30°，
∴DE=AD•tan∠DAE=．
∴S_{四边形AB′ED}=2S_△ADE=2××1×=．
∴阴影部分的面积=S_{正方形ABCD}-S_{四边形AB′ED}=1-，
故选D．
点评：本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．