Question

如图，

AB

=

BD

，当∠ABD=60°时，点E是圆O上任意一点，连接AE、BE、DE，求AE、BE、DE之间的数量关系．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：猜想：BE=AE+DE，连结AD，延长AE使EF=ED，连接DF，先证明△DEF是等边三角形，再通过构建全等三角形来求解．

解答：解：BE=AE+DE．理由如下：
如图，连结AD，延长AE使EF=ED，连接DF，
∵∠ABD=60°，∠AED=120°，
∴∠DEF=60°，
∵

AB

=

BD

，
∴∠DEB=60°，
∴∠DBE=∠DAE，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠F=60°=∠BED，
在△DAF和△BDE中，

∠DAF=∠DBE ∠F=∠BED DF=DE

，
∴△DAF≌△BDE（AAS），
∴AF=BE，
∵AF=AE+EF=AE+ED，
∴BE=AE+DE．

点评：本题考查的是圆周角定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．