Question

已知抛物线y=

1

2

x2经过坐标原点，与直线y=

1

2

x+1相交于A、B两点，y=

1

2

x+1与x轴、y轴分别相交于点C和D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若把抛物线向下平移，使得抛物线经过点C，此时抛物线与直线y=

1

2

x+1相交于另一点E，与x轴相交于点F，求△CEF的面积；
（3）把抛物线y=

1

2

x2上下平移，与直线相交于点G、K，能否使得CG：DK=1：2，若能成立，请求出向上或向下平移几个单位，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）让二次函数和直线解析式联立即可求得交点坐标．
（2）向下平移，顶点的纵坐标改变．设出相应的函数解析式，把C坐标代入求得函数解析式，与一次函数联立求得点E坐标，利用二次函数的对称性可求得点F的坐标．
（3）设G，K的横坐标分别为m，n，得到平移后的纵坐标．从G，K向x轴引垂线，得到一定的相似三角形．利用相似三角形的对应边的比为1：2进行求解．

解答：解：（1）由题意得：

1

2

x2=

1

2

x+1，
∴x²-x-2=0，
∴x₁=2，x₂=-1，
∴A（-1，

1

2

），B（2，2）．

（2）把y=

1

2

x2向下平移a个单位经过点C，则抛物线变为：y=

1

2

x2-a，
又y=

1

2

x+1，
得C（-2，0），D（0，1），
∴0=

1

2

（-2）²-a，a=2，
∴y=

1

2

x2-2，
∴

1

2

x2-2=

1

2

x+1，x²-x-6=0x₁=3，x₂=-2，
∴E（3，

5

2

）
又C，F关于y轴对称
∴F（2，0）
∴CF=2-（-2）=4
∴S_△CEF=

1

2

×CF×E点纵坐标的绝对值=

1

2

×4×

5

2

=5（2分）

（3）设抛物线上下平移k个单位，G点坐标为（m，

1

2

m2+k），K点坐标为（n，

1

2

n2+k)，
①G在C上方时

m-(-2) n = 1 2 ( 1 2 n2+K)-( 1 2 m2+k) n-m = 1 2

，
∴

m=-1 n=2

，
解得k=0，没有移动，舍去；
②G在C下方时

(-2)-m n = 1 2 ( 1 2 n2+K)-( 1 2 m2+k) n-m = 1 2

，
∴

m=-5 n=6

．
解得k=-14，即向下平移14个单位，
所以，当抛物线向下平移14个单位时，满足要求．

点评：两个函数的交点坐标应是这两个函数的解析式组成方程组的公共解；三角形一边在坐标轴上，这边应是求三角形面积的一底边；
相似三角形的对应边的边应是相等的．