Question

7．在图1直角坐标系中，矩形OABC的点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，B点在第一象限
（1）若矩形OABC的面积为16$\sqrt{3}$，且OA=$\sqrt{3}$AB，求点B的坐标；
（2）D点是x轴负半轴上的一点，且AC=AD，连CD，M是CD的中点，求证：OM⊥BM；
（3）在（1）的条件下，P为BC边上的一点，且∠COP=30°，OQ平分∠BOP，E、F是OB、OQ上的动点，求BF+EF的最小值，请在图2中画出示意图并简述理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的面积和边长之间的关系求出AB、OA即可得出结果；
（2）连接OB交AC于N，先证明MN是△ADC的中位线，得出MN=$\frac{1}{2}$AD，再由AD=AC=BO，得出MN=$\frac{1}{2}$BO，根据直角三角形的判定方法即可得出结论；
（3）作BH⊥OP于H，交OQ于F，作FE⊥OB于E，E、F即为使BF+EF得最小值的点，再根据角平分线的性质即可得出结果．

解答 解：（1）∵矩形OABC的面积为16$\sqrt{3}$，且OA=$\sqrt{3}$AB，
∴$\sqrt{3}$AB²=16$\sqrt{3}$，
∴AB=4，
∴OA=4$\sqrt{3}$，
∴点B的坐标为（4$\sqrt{3}$，4）；
（2）连接OB交AC于N，如图1所示：
∵M是CD的中点，
∴CM=DM，
∵四边形OABC是矩形，
∴AN=CN，BN=ON，AC=BO，
∴MN是△ADC的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD，
∵AD=AC，
∴AD=BO，
∴MN=$\frac{1}{2}$BO，
∴∠OMB=90°，
∴OM⊥BM；
（3）作BH⊥OP于H，交OQ于F，作FE⊥OB于E，E、F即为使BF+EF得最小值的点；如图2所示：
∵tan∠AOB=$\frac{AB}{OA}=\frac{4}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOB=30°，
∴∠BOH=90°-∠COP-∠AOB=30°，
∴∠BOH=∠AOB，
∴BH=AB=4，
∵OQ平分∠BOP，
∴HF=EF，
∴BF+EF=BF+HF=BH=4，
即BF+EF的最小值为4．

点评 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的判定方法、锐角三角函数以及最小值问题等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线才能得出答案．