Question

如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．
（1）求证：AB+CD=AD+BC；
（2）求∠AOD的度数．

Answer 1

分析：（1）根据切线长定理可证得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，进而证明AB+DC=AD+BC；
（2）连OE、ON、OM、OF，通过证明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出∠AOD的度数．

解答：（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，
∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM，
∴AB+DC=AD+BC；

（2）解：连OE、ON、OM、OF，
∵OE=ON，AE=AN，OA=OA，
∴△OAE≌△OAN，
∴∠OAE=∠OAN．
同理，∠ODN=∠ODF．
∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE．
又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°，
∴∠OAN+∠ODN=

1

2

×180°=90°，
∴∠AOD=180°-90°=90°．

点评：本题考查了切线长定理和全等三角形的判定、全等三角形的性质以及平行线的性质：同旁内角互补，解题的关键是构造全等三角形．