Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD．
（1）如图①，连接AC，如果三角形ADC的面积为6，求梯形ABCD的面积；
（2）如图②，E是腰AB上一点，连接CE，设△BCE和四边形AECD的面积分别为S₁和S₂，且2S₁=3S₂，求

AE

BE

的值；
（3）如图③，AB=CD，如果CE⊥AB于点E，且BE=3AE，求∠B的度数．

Answer 1

分析：（1）由△ADC与△ABC等高，且BC=3AD，可得△ABC的面积是△ADC面积的三倍，所以可求得△ADC的面积，即可求得梯形ABCD的面积；
（2）可利用面积法求解，因为如果三角形的高相等，则其面积的比等于其底的比，所以可求得AE与BE的比；
（3）首先延长BA与CD，然后根据面积的关系求得△MBC是等边三角形，即可得∠B为60°．

解答：解：（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，又△ADC与△ABC等高，且BC=3AD，
∴S_△ABC=3S_△ADC，
∵S_△ADC=6，
∴S_梯形ABCD=S_△ABC+S_△ACD=4S_△ADC=24．

（2）方法1：连接AC，如图①，设△AEC的面积为S₃，则△ACD的面积为S₂-S₃，

由（1）和已知可得

2S1=3S2 S1+S3=3(S2-S3).

解得：S₁=4S₃．
∴

S3

S1

=

1

4

．
∵△AEC与△BEC等高，
∴

AE

BE

=

1

4

．
方法2：延长BA、CD相交于点F，如图②
∵AD∥BC，
∴△FAD∽△FBC，
∴

S△FAD

S△FBC

=(

AD

BC

)2=

1

9

，
设S_△FAD=S₃=a，则S_△FBC=9a，S₁+S₂=8a，
又∵2S₁=3S₂，
∴S1=

24

5

a，S2=

16

5

a，S₃=a．
∵△EFC与△CEB等高，
∴

FE

EB

=

S△FEC

S△ECB

=

S3+S2

S1

=

7

8

．
设FE=7k，则BE=8k，FB=15k，
∴FA=

1

3

FB=5k．
∴AE=7k-5k=2k．
∴

AE

BE

=

1

4

．

（3）延长BA、CD相交于点M．如图③，
∵AD∥BC，
∴△MAD∽△MBC，
∴

AD

BC

=

MA

MB

=

1

3

．
∴MB=3MA．设MA=2x，则MB=6x．
∴AB=4x．
∵BE=3AE，
∴BE=3x，AE=x．
∴BE=EM=3x，E为MB的中点．
又∵CE⊥AB，
∴CB=MC．
又∵MB=MC，
∴△MBC为等边三角形．
∴∠B=60°．

点评：此题考查了如果三角形的高相等，则面积比等于其底边的比．解此题的关键是准确的作出辅助线与数形结合思想的应用．