Question

15．如图，∠AOB=α，P在∠AOB内，OP=2，M和N分别为OA，OB上一动点，当△PMN的周长为最小值2时，α=30°．

Answer 1

分析 作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．

解答 解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵PC关于OA对称，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP，
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD，
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB，OC=OD=OP=2．
∵CD=2，
∴△COD是等边三角形．
∴∠COD=2∠AOB=60°，
∴∠AOB=30°，
∴α=30°，
故答案为30°．

点评 本题考查了对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．