Question

如图，直线y=x+1与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=．

（1）求k的值；

（2）设点N（1，a）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【考点】反比例函数综合题．

【专题】计算题．

【分析】（1）对于直线y=x+1，令x=0求出y的值，确定出A坐标，得到OA的长，根据tan∠AHO的值，利用锐角三角函数定义求出OH的长，根据MH垂直于x轴，得到M横坐标与A横坐标相同，再由M在直线y=x+1上，确定出M坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；

（2）将N坐标代入反比例解析式求出a的值，确定出N坐标，过N作N关于y轴的对称点N₁，连接MN₁，交y轴于P（如图），此时PM+PN最小，由N与N₁关于y轴的对称，根据N坐标求出N₁坐标，设直线MN₁的解析式为y=kx+b，把M，N₁的坐标代入求出k与b的值，确定出直线MN₁的解析式，令x=0求出y的值，即可确定出P坐标．

【解答】解：（1）由y=x+1可得A（0，1），即OA=1，

∵tan∠AHO==，

∴OH=2，

∵MH⊥x轴，

∴点M的横坐标为2，

∵点M在直线y=x+1上，

∴点M的纵坐标为3，即M（2，3），

∵点M在y=上，

∴k=2×3=6；

（2）∵点N（1，a）在反比例函数y=的图象上，

∴a=6，即点N的坐标为（1，6），

过N作N关于y轴的对称点N₁，连接MN₁，交y轴于P（如图），

此时PM+PN最小，

∵N与N₁关于y轴的对称，N点坐标为（1，6），

∴N₁的坐标为（﹣1，6），

设直线MN₁的解析式为y=kx+b，

把M，N₁的坐标得，

解得：，

∴直线MN₁的解析式为y=﹣x+5，

令x=0，得y=5，

∴P点坐标为（0，5）．

【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，待定系数法求一次函数解析式，对称的性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．