Question

已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、

BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）若将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合，梯形ABCD应满足什么条件，能使四边形ABFC为菱形？并加以证明；
（3）在（2）的条件下求sin∠CAF的值．

Answer 1

（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠FCE=∠ABE，∠CFE=∠BAE．
又E是BC的中点，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB=CF．

（2）梯形ABCD应满足∠ADC=90°，CD=

1

2

BC．
理由如下：
∵AB∥CF，AB=CF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
要使它成为菱形，只需AF⊥BC．
根据将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合，得
∠ADC=90°，CD=

1

2

BC．

（3）∵四边形ABFC为菱形，
∴AC=CF．
∴∠CAF=∠AFC．
∴∠ACD=∠CAF+∠AFC=2∠CAF．
由于是折叠，得∠CAD=∠CAF．
∴∠ACD=2∠CAD．
又∠ADC=90°，
∴∠CAF=∠CAD=30°．
∴sin∠CAF=

1

2

．