题目内容
如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（-1，0），（5，0）
，（0，2）．（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；
①求S与t的函数关系式；
②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？
（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．
分析：（1）因为抛物线过A、B、C三点，所以此三点的坐标使抛物线的解析式成立．
（2）①此题要分作两种情况进行讨论：
一、当P点位于原点左侧，线段OA上；此时0≤t＜1，可用t表示出OP、BP的长，欲求△BPF的面积，关键要求出BP边上的高，可过F作FD⊥x轴于D；由于∠CPF=90°，易证得△OPC∽△DFP，根据已知条件可知PF=PE=2PC，即两个相似三角形的相似比为2，那么DF=2OP，由此可得到DF的长，以BP为底，DF为高，即可求得△BPF的面积表达式，也就得到了关于S、t的函数关系式；
二、当P点位于原点右侧，线段BP上；此时1＜t＜6，可仿照一的方法进行求解；
②根据①得到的S、t的函数关系式，及相应的自变量的取值范围，即可根据函数的性质求得S的最大值及对应的t值，然后进行比较即可得到结果．
（3）当P位于线段OA上时，显然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角顶点，可分两种情况进行讨论：
①F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t2-2t+5，那么PF2=（2CP）2=4（t2-2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2-2t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6-t，联立两式可得t2-2t+5=6-t，即t=
；
②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2．
（2）①此题要分作两种情况进行讨论：
一、当P点位于原点左侧，线段OA上；此时0≤t＜1，可用t表示出OP、BP的长，欲求△BPF的面积，关键要求出BP边上的高，可过F作FD⊥x轴于D；由于∠CPF=90°，易证得△OPC∽△DFP，根据已知条件可知PF=PE=2PC，即两个相似三角形的相似比为2，那么DF=2OP，由此可得到DF的长，以BP为底，DF为高，即可求得△BPF的面积表达式，也就得到了关于S、t的函数关系式；
二、当P点位于原点右侧，线段BP上；此时1＜t＜6，可仿照一的方法进行求解；
②根据①得到的S、t的函数关系式，及相应的自变量的取值范围，即可根据函数的性质求得S的最大值及对应的t值，然后进行比较即可得到结果．
（3）当P位于线段OA上时，显然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角顶点，可分两种情况进行讨论：
①F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t2-2t+5，那么PF2=（2CP）2=4（t2-2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2-2t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6-t，联立两式可得t2-2t+5=6-t，即t=
1+
| ||
| 2 |
②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2．
解答：解：（1）（法一）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把A（-1，0），B（5，0），C（0，2）三点代入解析式得：
，
解得
；
∴y=-
x2+
x+2；（3分）
（法二）设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=-5a，
∴a=-
；
∴y=-
(x+1)(x-5)，
即y=-
x2+
x+2；（3分）
（2）①过点F作FD⊥x轴于D，
当点P在原点左侧时，BP=6-t，OP=1-t；
在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，
∵∠FPD+∠CPO=90°，
∴∠PCO=∠FPD；
∵∠POC=∠FDP，
∴△CPO∽△PFD，（5分）
∴
=
；
∵PF=PE=2PC，
∴FD=2PO=2（1-t）；（6分）
∴S△PBF=
BP×DF=t2-7t+6（0≤t＜1）；（8分）
当点P在原点右侧时，OP=t-1，BP=6-t；
∵△CPO∽△PFD，（9分）
∴FD=2（t-1）；
∴S△PBF=
BP×DF=-t2+7t-6（1＜t＜6）；（11分）
②当0≤t＜1时，S=t2-7t+6；
此时t在t=3.5的左侧，S随t的增大而减小，则有：
当t=0时，Smax=0-7×0+6=6；
当1＜t＜6时，S=-t2+7t-6；
由于1＜3.5＜6，故当t=3.5时，Smax=-3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；
综上所述，当t=3.5时，面积最大，且最大值为6.25．
（3）能；（12分）
①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t-1，
由勾股定理易求得CP2=t2-2t+5，那
么PF2=（2CP）2=4（t2-2t+5）；
在Rt△PFB中，FD⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2-2t+5，
而PB的另一个表达式为：PB=6-t，
联立两式可得t2-2t+5=6-t，即t=
，
P点坐标为（
，0），
则F点坐标为：（
，
-1）；
②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，
那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2，
P点坐标为（1，0）．FD=2（t-1）=2，
则F点坐标为（5，2）．（14分）
|
解得
|
∴y=-
| 2 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
（法二）设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=-5a，
∴a=-
| 2 |
| 5 |
∴y=-
| 2 |
| 5 |
即y=-
| 2 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
（2）①过点F作FD⊥x轴于D，
当点P在原点左侧时，BP=6-t，OP=1-t；
在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，
∵∠FPD+∠CPO=90°，
∴∠PCO=∠FPD；
∵∠POC=∠FDP，
∴△CPO∽△PFD，（5分）
∴
| FD |
| PO |
| PF |
| PC |
∵PF=PE=2PC，
∴FD=2PO=2（1-t）；（6分）
∴S△PBF=
| 1 |
| 2 |
当点P在原点右侧时，OP=t-1，BP=6-t；
∵△CPO∽△PFD，（9分）
∴FD=2（t-1）；
∴S△PBF=
| 1 |
| 2 |
②当0≤t＜1时，S=t2-7t+6；
此时t在t=3.5的左侧，S随t的增大而减小，则有：
当t=0时，Smax=0-7×0+6=6；
当1＜t＜6时，S=-t2+7t-6；
由于1＜3.5＜6，故当t=3.5时，Smax=-3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；
综上所述，当t=3.5时，面积最大，且最大值为6.25．
（3）能；（12分）
①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t-1，
由勾股定理易求得CP2=t2-2t+5，那
么PF2=（2CP）2=4（t2-2t+5）；
在Rt△PFB中，FD⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2-2t+5，
而PB的另一个表达式为：PB=6-t，
联立两式可得t2-2t+5=6-t，即t=
1+
| ||
| 2 |
P点坐标为（
| ||
| 2 |
则F点坐标为：（
| ||
| 2 |
| 5 |
②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，
那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2，
P点坐标为（1，0）．FD=2（t-1）=2，
则F点坐标为（5，2）．（14分）
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、以及三角形面积的求法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等重要知识点；在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
练习册系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数
∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．