Question

【题目】已知：如图在△ABC ，△ADE 中，BAC DAE 90，AB AC ，AD AE ，点 C ， D ， E 三点在同一条直线上，连接 BD ， BE.求证：（1）△ABD≌△ACE ；（2） BD CE ；（3） BE AC AD

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析；（3）见解析

【解析】

（1）要证△ABD≌△ACE现有AB=AC,AD=AE,需它们的夹角∠BAD=∠CAE,而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得；

（2）要证BD⊥CE,需证∠BDC=90°,需证∠DBC+∠BCD=90°可由直角三角形提供;

(3)由三角形三边关系可得BE AB AE，由全等可知AB=AC,AE=AD，即可得结论．

（1）∵∠BAC=∠DAE=90°,

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,

∴∠BAD=∠CAE,

在△BAD和△CAE中,

,

∴△ABD≌△ACE（SAS）.

（2）BD⊥CE,理由如下：

由（1）知△ABD≌△ACE

∴∠ABD=∠ACE,

∵∠ABD+∠DBC=45°,

∴∠ACE+∠DBC=45°,

∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,

∴∠BDC=90°,

则BD⊥CE．

（3）在△ABE中，BE AB AE

∵AB=AC,AE=AD

∴BE AC AD