Question

如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，给出3个论断：①DE=FE；②AE=CE；③FC∥AB，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出3个命题，其中正确命题的个数是

 

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Answer 1

分析：就三种情况分类讨论．
第一种情况：若以①②条件，以③为结论．
首先用边角边定理先证明全等，再利用全等三角形的性质得到∠A=∠ECF，最后根据平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），易知，FC∥AB．
第二种情况：若以①③条件，以②为结论．
首先根据平行线的性质定理，易知∠ADE=∠CFE．再根据角边角定理，易知△ADE与△CFE全等．再根据全等三角形的性质定理，得到AE=CE．
第三种情况：以②③条件，以①为结论．
步骤同第二种情况．
综上证明，即可知正确命题的个数．

解答：解：
第一种情况：若以①②条件，以③为结论．
证明：在△ADE与△CFE中，

DE=FE ∠AED=∠CEF AE=CE

?△ADE≌△CFE?∠A=∠ECF?FC∥AB
本结论成立；

第二种情况：若以①③条件，以②为结论．
证明：∵FC∥AB
∴∠ADE=∠CFE
在△ADE与△CFE中，

∠AED=∠CEF DE=FE ∠ADE=∠CFE

?△ADE≌△CFE?AE=CE
本结论成立；

第三种情况：以②③条件，以①为结论．
证明：∵FC∥AB
∴∠ADE=∠CFE
在△ADE与△CFE中，

∠AED=∠CEF AE=CE ∠ADE=∠CFE

?△ADE≌△CFE?DE=FE
本结论成立；
总上证明正确命题的个数是3．
故答案为3．

点评：本题考查全等三角形的判定与性质定理、平行线的性质与判定．