Question

已知△ABC中，∠BAC=60゜，D是线段BC上一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E、F．
（1）如图1，若AD=4，求EF的长；
（2）如图2，若∠ABC=45゜，AB=2

2

，求EF的最小值．

Answer 1

分析：（1）作直径EP，连结PF，根据圆周角定理得∠EFP=90°，由于∠P=∠EAF=60°，则∠PEF=30°，所以PF=

1

2

PE，EF=

3

PF=

3

2

EP，然后把EP=AD=4代入计算即可；
（2）由（1）得EF=

3

2

EP=

3

2

AD，则当AD最小时，EF最小，而AD⊥BC时，AD最小，如图2，由于∠ABC=45゜，AB=2

2

可得到AD=2，所以EF=

3

2

×2=

3

．

解答：解：（1）作直径EP，连结PF，如图1，
∵EP为⊙O的直径，
∴∠EFP=90°，
∵∠P=∠EAF=60°，
∴∠PEF=30°，
∴PF=

1

2

PE，
EF=

3

PF=

3

2

EP，
∵EP=AD=4，
∴EF=

3

2

×4=2

3

；

（2）∵EF=

3

2

EP=

3

2

AD，
∴当AD最小时，EF最小，
当AD⊥BC时，AD最小，如图2，
∵∠ABC=45゜，AB=2

2

，
∴AD=

2

2

AB=2，
∴EF=

3

2

×2=

3

，
即EF的最小值为

3

．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和解直角三角形．