Question

如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB=15°，C为AB延长线上的一点，且∠DCA=60°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求图中阴影部分的面积和周长．

Answer 1

解：（1）连接OD，
∵OA=OD，
∴∠NAD=∠ADO=15°，
∵∠DOB为△AOD的外角，
∴∠DOB=2∠BAD=30°，
∵∠DCO=60°，
∴∠ODC=90°，即DC⊥OD，
则DC是圆O的切线；
（2）在Rt△OCD中，OD=，
设CD=x，由∠DOC=30°，得到OC=2x，
根据勾股定理得：x²+（）²=（2x）²，
解得：x=1，
∴CD=1，
则S_阴影=S_△ODC-S_扇形BOD=CD•OD-=-．
分析：（1）连接OD，由AO=OD，利用等边对等角得到∠DAB=∠ADO，求出∠ADO的度数，再由∠DOB为三角形AOD的外角，利用外角性质得到∠DOB为30°，再由∠DCA为60°，得到∠ODC为直角，即可确定出CD为圆O的切线；
（2）由AB的长求出圆的半径，阴影部分的面积等于直角三角形OCD的面积减去扇形BOD的面积，求出即可．
点评：此题考查了切线的判定，涉及的知识有：等腰三角形的性质，外角性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及扇形面积求法，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．