Question

17．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BD平分∠CBE，AF平分∠DAB，BF平分∠ABD，则∠F=112.5°．

Answer 1

分析 根据角平分线的性质可得∠D=$\frac{1}{2}∠$C=45°，再利用角平分线的性质可得∠F=90$°+\frac{1}{2}$∠D，进而可得答案．

解答 解：∵AD平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠DBE=$\frac{1}{2}$∠CBE，
∵∠C+∠CAB=∠CBE，
∴$\frac{1}{2}$∠C+$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}∠$CBE，
∴$\frac{1}{2}$∠C+∠DAB=∠DBE，
∴$\frac{1}{2}$∠C=∠DBE-∠DAB=∠D，
∵∠C=90°，
∴∠D=45°，
∵AF平分∠DAB，BF平分∠ABD，
∴∠1=$\frac{1}{2}∠$DAB，∠2=$\frac{1}{2}∠$ABF，
∴∠F=180°-∠1-∠2，
=180°-$\frac{1}{2}$∠DAB-$\frac{1}{2}∠$DBA，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠DBA），
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠D），
=90°+$\frac{1}{2}∠$D，
=112.5°，
故答案为：112.5°．

点评 此题主要考查了角平分线的定义，以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为180°．