Question

17．如图，△ABC中，D，F是边AB上两点，DE∥FG∥BC，DF=FB，△ADE的面积为S₁，四边形DFGE和四边形FBCG的面积分别为S₂，S₃．
（1）若S₁=1，S₂=8，则S₃=16；
（2）若S₃=3，S₂=2，则S₁=$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 （1）先求出S₁+S₂的面积，由于DE∥FG∥BC，所以△ADE∽△AFG，$\frac{A{D}^{2}}{A{F}^{2}}$=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{1}+{S}_{2}}$，从而可求出$\frac{AD}{AF}$的值，再根据DF=FB，即可得出$\frac{AD}{AB}$的值，从而可求出S₃
（2）设S₁=x，然后根据（1）中的结论即可求出x的值．

解答 解：（1）∵DE∥FG，
∴△ADE∽△AFG，
∴$\frac{A{D}^{2}}{A{F}^{2}}$=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{1}+{S}_{2}}$=$\frac{1}{9}$
∴$\frac{AD}{AF}=\frac{1}{3}$，
∵DF=FB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{5}$，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}}$
∴S₃=16，

（2）设S₁=x，
由（1）可知：$\frac{A{D}^{2}}{A{F}^{2}}$=$\frac{x}{2+x}$
∴$\frac{AD}{AF}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2+x}}$，
∵DF=FB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{2+x}-\sqrt{x}}$，
∵$\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}}$
∴$\frac{x}{x+5}$=（$\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{2+x}-\sqrt{x}}$）²
解得：x=$\frac{9}{8}$
故答案为：（1）16；（2）$\frac{9}{8}$

点评 本题考查相似三角形的性质，解题的关键是正确运用相似三角形的面积比等于相似比的平方，本题属于中等题型．