Question

如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：

①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，

其中正确的有（　　）

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

5个

Answer 1

B解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=AB，

∵AD=AB，

∴AE=AD，

在△ABE和△AHD中，

，

∴△ABE≌△AHD（AAS），

∴BE=DH，

∴AB=BE=AH=HD，

∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，

∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，

∴∠AED=∠CED，故①正确；

∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），

∴∠OHE=∠AED，

∴OE=OH，

∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，

∴∠DOH=∠ODH，

∴OH=OD，

∴OE=OD=OH，故②正确；

∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，

∴∠EBH=∠OHD，

在△BEH和△HDF中，

，

∴△BEH≌△HDF（ASA），

∴BH=HF，HE=DF，故③正确；

∵DF=DC﹣CF=BC﹣CF，

∴BC﹣2CF=2DF，

∴BC﹣2CF=2HE，故④错误；

∵AB=AH，∠BAE=45°，

∴△ABH不是等边三角形，

∴AB≠BH，

∴即AB≠HF，故⑤错误；

综上所述，结论正确的是①②③共3个