Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，点D为BC边上的动点（D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；

（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）点D在BC边上运动 的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18．

【解析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；

（2）解直角三角形求出BC，由△ABD∽△DCE，推出＝，可得DB＝＝＝，由DE∥AB，推出＝，求出AE即可；

（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF.过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥FH于点N，则∠NHA＝∠AMH＝∠ANH＝90°，由△AFN∽△ADM，可得＝＝tan∠ADF＝tanB＝，推出CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题.

解：(1)∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB．

∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠CDE．

∴△ABD∽△DCE．

(2)过点A作AM⊥BC于点M．

在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM·tanB＝4k·＝3k．

由勾股定理，得：AB2＝AM2＋BM2，得：

202＝(3k)2＋(4k)2，解得：k＝4．

∵AB＝AC，AM⊥BC，

∴BC＝2BM＝8k＝32．

∵DE∥AB，

∴∠BAD＝∠ADE．

又∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，

∴∠BAD＝∠ACB．

∵∠ABD＝∠CBA，

∴△ABD∽△CBA，

∴＝，则DB＝＝＝．

∵DE∥AB，

∴＝，

∴AE＝＝＝．

(3)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．

过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥FH于点N，则∠NHA＝∠AMH＝∠ANH＝90°．

∴四边形AMHN为矩形．

∴∠MAN＝90°，MH＝AN．

∵AB＝AC，AM⊥BC，

∴BM＝CM＝BC＝×32＝16．

在Rt△ABM中，由勾股定理，得：AM＝＝＝12．

∵AN⊥FH，AM⊥BC，

∴∠ANF＝90°＝∠AMD．

∵∠DAF＝90°＝∠MAN，

∴∠NAF＝∠MAD，

∴△AFN∽△ADM．

∴＝＝tan∠ADF＝tanB＝．

∴AN＝AM＝×12＝9．

∴CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7．

当DF＝CF时，由点D不与点C重合时，可知△DFC为等腰三角形．

又∵FH⊥DC，

∴CD＝2CH＝14．

∴BD＝BC－CD＝32－14＝18．

∴点D在BC边上运动 的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18．