Question

【题目】如图1，直线与相交于，两点，是的直径，是上一点，于点，连结，且平分.

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的半径；

(3)如图2，在(2)的条件下，点为上一动点，连接，，，问：线段，，之间存在什么数量关系？请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)的半径为；(3).

【解析】

（1）由OA=OD得∠OAD=∠ODA，由AD平分∠CAM得∠OAD=∠DAE，则∠ODA=∠DAE，所以DO∥AB，利用DE⊥AB得到DE⊥OD，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）连结DC，先利用勾股定理计算出AD长，由AC是⊙O直径得到∠ADC=90°，易证得△ACD∽△ADE，利用相似比可计算出AC，即可得到圆的半径；

（3）可得结论PC=PD+PB，连接PB、DB，在CP上截取PB=PF，连接BF、BC，可证△PBF为等边三角形，再证△PBD≌△FBC，即可得结论．

解：(1)连结，如图，

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴.

∴，

∵，

∴，

∴是的切线；

(2)∵，，.

∴，

连结，

∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

解得.

∴的半径为.

(3).

理由：连接、，延长至点，使，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵四边形内接于，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴为等边三角形，

∴，

∵，

∴.