Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PHPC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．

解：∵△BPC是等边三角形，

∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，

在正方形ABCD中，

∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°

∴∠ABE＝∠DCF＝30°，

∴BE＝2AE；故①正确；

∵PC＝CD，∠PCD＝30°，

∴∠PDC＝75°，

∴∠FDP＝15°，

∵∠DBA＝45°，

∴∠PBD＝15°，

∴∠FDP＝∠PBD，

∵∠DFP＝∠BPC＝60°，

∴△DFP∽△BPH；故②正确；

∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，

∴△DPH∽△CPD，

∴，

∴DP2＝PHPC，故③正确；

∵∠ABE＝30°，∠A＝90°

∴AE＝AB＝BC，

∵∠DCF＝30°，

∴DF＝DC＝BC，

∴EF＝AE+DF＝﹣BC，

∴FE：BC＝（2﹣3）：3

故④正确，

故选：D．