Question

如图，Rt△ABC中，∠AOB=90°，点A在y=-

4

x

上，点B在y=

6

x

上，则tan∠OAB=

6

2

．

Answer 1

分析：过A作AC垂直于x轴，过B作BD垂直于x轴，由A在反比例函数y=

-4

x

上，B在反比例函数y=

6

x

上，利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOC与三角形BOD的面积，再由OA与OB垂直得到一对角互余，由AC垂直于x轴得到直角三角形AOC中两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形BOD与三角形AOC相似，由面积之比等于相似比的平方，由面积比求出相似比，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠OAB的值．

解答：解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥轴，
∵A在反比例函数y=

-4

x

上，B在反比例函数y=

6

x

上，
∴S_△AOC=

1

2

×|-4|=2，S_△BOD=

1

2

×6=3，
∵AC⊥CO，OA⊥OB，BD⊥OD
∴∠CAO+∠COA=90°，∠COA+∠BOD=90°，∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
∴△BDO∽△OCA，
又∵S_△BDO：S_△OCA=3：2，
∴BO：OA=

3

：

2

，
在Rt△AOB中，tan∠OAB=

BO

AO

=

3

2

=

6

2

．
故答案为：

6

2

．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数中k的几何意义，以及锐角三角函数定义，作出相应的辅助线是解本题的关键．