Question

10．已知：如图，以Rt△ABC的边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，E是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AC=5，DE=2时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OD、OE、BD．只要证明△OED≌△OEB，得∠ODE=∠OBE即可解决问题．
（2）首先求出BC，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接OD、OE、BD．

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，∵∠CDB=90°，BE=CE，
∴DE=EB=EC，
在△OED和△OEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=EB}\\{OE=OE}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴ED⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．

（2）∵DE=2，BC=2DE=4，
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴OA=1.5．
∴⊙O的半径为1.5．

点评 本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、直角三角形的斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．