Question

【题目】已知二次函数与一次函数，

（1）求证：对任意的实数，函数与的图象总有两个交点；

（2）设与的图象相交于两点，的图象与轴相交于点，记与的面积分别为（为坐标原点），求证：总是定值；

（3）对于二次函数，是否存在实数，使得当时，恰好有，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）把两函数联立得到一元二次方程，根据根的判别式△＞0即可求解；

（2）设，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据二次函数的解析式求出C点坐标，得到，再代入即可求解；

（3）先把二次函数化为顶点式，当时，有最大值，根据当时，恰好有，故，而函数的对称轴为，得到函数值会随着增大而增大，把（a,a）和（b,b）代入二次函数，再根据根与系数的关系得到，故可求出的值．

解：（1）联立与的方程

消去得

对任意的实数，函数与的图象总有两个交点．

（2）设，则是方程的两根，

由根与系数的关系知：，因为二次函数与轴相交于点

所以

故总是定值；

（3），当时，有最大值，

所以，而函数的对称轴为，

所以当时，

函数值会随着增大而增大，

把（a,a）和（b,b）代入二次函数得，

则

所以是方程的两根且这两根均小于4，

所以

∴．