Question

【题目】在中，，，，点是射线上的动点，连接，将沿着翻折得到，设，

（1）如图1，当点在上时，求的值．

（2）如图2，连接，，当时，求的面积．

（3）在点的运动过程中，当是等腰三角形时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或或

【解析】

（1）由勾股定理求得BC=10，由折叠性质得P=AP=x， C=AC=6，则PB=8-x，B=4，在RtΔBP中，由勾股定理列方程可求得x值；

（2）根据已知求出，由=即可解答；

（3）分情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别求解即可.

(1)在中，，，，

∴由勾股定理得：BC=10，

由折叠性质得：P=AP=x， C=AC=6，则PB=8-x，B=4，

在RtΔBP中，由勾股定理得：42+x2=(8-x)2，

解得：；

（2）当时，

由折叠性质得：AC=C=4，∠CAB=∠CP=90，

∴=，

∵=90，=90，

∴，

∵=90，=90，

∴，

∴，

∴=4，

则，且=，

由，∠CAB=90，可求得，，，

，；

（3）①当时，若在线段上，如图1，过作H⊥AB于H，过C作CD⊥H延长线于D，

则四边形ACDH是矩形，又是等腰三角形，

∴，，

，，

∵=90，=90,

∴，又=90,

∴，

∴，

得，解得，

若在延长线上时，如图2，过作AB的平行线，交AC延长线与D，过P作PH垂直平行线于H，则四边形APHD是矩形，

同上方法，易求得D=4，，

∴PH=AD=，

同理可证得，

∴，

得，解得，

②当时，如图3，由折叠性质得：

CP垂直平分A，

则，∠AQP=90，

又AC=6,

，

∵∠ AQP=∠CAB=90，

∴由同角的余角相等得：∠ACQ=∠QAP，

∴，

∴，

即，

解得：；

③当时，如图4，则、重合，，

综上所述或或或.