Question

如图，P（m，n）点是函数y=-

8

x

(x＜0)上的一动点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N． 
（1）当点P在曲线上运动时，四边形PMON的面积是否变化？若不变，请求出它的面积，若改变，请说明理由；
（2）若点P的坐标是（-2，4），试求四边形PMON对角线的交点P₁的坐标；
（3）若点P₁（m₁，n₁）是四边形PMON对角线的交点，随着点P在曲线上运动，点P₁也跟着运动，试写出n₁与m₁之间的关系．

Answer 1

分析：（1）四边形PMON的面积等于PM•PN，PM•PN=8，则四边形PMON的面积无变化；
（2）根据矩形的对角线的性质以及三角形的中位线定理，得出P₁的坐标；
（3）由xy=-8，得m₁=

1

2

x，n₁=

1

2

y，则m₁•n₁=

1

4

xy=-2，从而得出n₁与m₁之间的关系．

解答：解：（1）∵P（m，n）点是函数y=-

8

x

(x＜0)上的一动点，
∴四边形PMON的面积等于PM•PN=8，
∴四边形PMON的面积不变；

（2）设P₁的坐标（a，b），由矩形的对角线的性质以及三角形的中位线定理，
得a=-1，b=2，
∴P₁的坐标（-1，2）；

（3）∵点P₁（m₁，n₁）是四边形PMON对角线的交点，
∴m₁=

1

2

x，n₁=

1

2

y，
∵xy=-8，∴m₁•n₁=

1

4

xy=-2，
∴m₁•n₁=-2，
∴n₁=-

2

m1

．

点评：本题是一道综合性的题目，考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上的点的横纵坐标的积为定值，是中考压轴题．