Question

【题目】如图，在中，，，点P从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连结PQ、BQ．设的面积为S，点P的运动时间为秒．

（1）求点A与BC之间的距离．

（2）当时，求的值．

（3）求S与之间的函数关系式．

（4）当线段PQ与的某条边垂直时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）或；（3）当0＜t≤1时，；当1＜t≤2时，；当2＜t≤3时，；（4）或或．

【解析】

（1）作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的三线合一可得BD＝3，再利用勾股定理即可求得AD的长；

（2）分两种情况讨论，当0＜t≤1时，点Q在AC上；当2＜t≤3时，点Q在AB上，先用含t 的代数式表示BP和AQ的长，再根据列出方程求解即可；

（3）分三种情况讨论，当0＜t≤1时，点Q在AC上，当1＜t≤2时，点Q与点A重合；当2＜t≤3时，点Q在AB上，画出相应的图形，过点Q作QE⊥BC于点E，根据相似三角形的性质可表示出QE的长，进而可得S与t的函数关系式；

（4）分三种情况讨论，当PQ⊥AC时，当PQ⊥BC时，当PQ⊥AB时，画出相应的图形，利用相似三角形的性质列出方程求解即可．

（1）如图，作AD⊥BC于点D．

∵AB＝AC＝5，AD⊥BC，BC＝6，

∴BD＝BC＝3．

∴在Rt△ABD中，AD＝．

（2）当0＜t≤1时，由题意可知：BP＝2t，AQ＝5－5t，

∵，

∴，

解得．

当2＜t≤3时，由题意可知：BP＝2t，AQ＝5(t－2)＝5t－10，

∵，

∴，

解得．

综上所述，当时，的值为或．

（3）当0＜t≤1时，如图，点Q在AC上，过点Q作QE⊥BC于点E，

∵AD⊥BC，QE⊥BC，

∴AD∥QE，

∴△QEC∽△ADC，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

当1＜t≤2时，如图，点Q与点A重合，

则，

∴；

当2＜t≤3时，如图，点Q在AB上，过点Q作QE⊥BC于点E，

∵AD⊥BC，QE⊥BC，

∴AD∥QE，

∴△QEB∽△ADB，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

综上所述：当0＜t≤1时，；当1＜t≤2时，；当2＜t≤3时，；

（4）当PQ⊥AC时，如图，

∵AD⊥BC，PQ⊥AC，

∴∠ADC＝∠PQC＝90°，

又∵∠C＝∠C，

∴△PQC∽△ADC，

∴，

∴，

解得：，

当PQ⊥BC时，

由题意可知此时点Q与点A重合，且点P与点D重合，如图，

则BP＝BD＝3，

∴2t＝3，

解得：，

当PQ⊥AB时，如图，

∵AD⊥BC，PQ⊥AB，

∴∠ADB＝∠PQB＝90°，

又∵∠B＝∠B，

∴△PQB∽△ADB，

∴，

∴，

解得：，

综上所述：当线段PQ与的某条边垂直时，t的值为或或．