Question

【题目】如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过A(1,0)，B(4,0)，C(0,2)三点．

（1）求这条抛物线和直线BC的解析式；

（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）；；（2）点的坐标为或．

【解析】

（1）设抛物线的解析式为，把点C的坐标代入求出a的值即可得出抛物线的解析式；然后利用待定系数法求直线BC的解析式；

（2）易得只能是以E为直角顶点的三角形，利用勾股定理的逆定理可证明，再证明，所以当点E在点C时满足条件，当E为点C在抛物线上的对称点时也满足条件，利用对称性写出点E的坐标即可．

解：（1）设抛物线解析式为，

把代入得，

解得：，

抛物线解析式为，

即；

设直线的解析式为，

把代入，

得，

解得，

直线的解析式为；

（2）存在．

由图象可得以或点为直角顶点的不存在，

只能是以点为直角顶点的三角形，

，

，

为直角三角形，，

，

当点在点时，以为顶点的三角形与相似；

点关于直线的对称点的坐标为，

点的坐标为时，以为顶点的三角形与相似，

综上所述，点的坐标为或．