Question

【题目】在中，D是边BC上一点，以点A为圆心，AD长为半径作弧，如果与边BC有交点E（不与点D重合），那么称为的A-外截弧.例如，图中是的一条A-外截弧.在平面直角坐标系xOy中，已知存在A-外截弧，其中点A的坐标为，点B与坐标原点O重合.

（1）在点，，，中，满足条件的点C是_______.

（2）若点C在直线上.

①求点C的纵坐标的取值范围.

②直接写出的A-外截弧所在圆的半径r的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）C2、C3；（2）-2<y<或y>2；（3）<r<5或<r<5.

【解析】

（1）如图，根据BC1⊥AB可得△ABC1没有A-外截弧，作AF⊥BC2于F，由AC2<AB可得当AF<AD2<AC2时，△ABC2有A-外截弧；作AG⊥BC3于G，根据点C3坐标，可求出AC3的长，可得AC3<AB，即可得出AG<AD1<AC3时，△ABC3有A-外截弧；根据A、B、C4坐标可求出BC4、AC4的长，根据勾股定理逆定理可得△ABC4是直角三角形，且AC4⊥BC4，可得△ABC4没有A-外截弧，综上即可得答案；

（2）①根据△ABC有A-外截弧可得∠ABC<90°，可得x>0，设点C坐标为（m，m-2），利用直角三角形斜边中线的性质可求出∠ACB=90°时点C的坐标，根据∠ACB<90°时，△ABC有A-外截弧可得m的取值范围，代入y=x-2，即可得点C纵坐标的取值范围；

②求出∠ACB=90°时AC的长，进而可得答案.

（1）如图，∵BC1⊥AB，

∴△ABC1没有A-外截弧，

作AF⊥BC2于F，

∵A（5，0），B（0，0），C2（5，-3），

∴∠BAC2=90°，AC2=3，AB=5，

∴AC2<AB，

∴AF<AD2<AC2时，△ABC2有A-外截弧，满足条件，

作AG⊥BC3于G，

∵C3（6，4），

∴AC3=<AB，

∴AG<AD1<时，△ABC3有A-外截弧，满足条件，

∵C4（4，2），

∴BC4=，AC4=，AB=5，

∵()2+()2=52，

∴△ABC4是直角三角形，∠AC4B=90°，

∴△ABC4没有A-外截弧，

综上所述：满足条件的点C是C2、C3.

故答案为：C2、C3

（2）①∵点C在直线y=x-2上，

∴设点C的坐标为（m，m-2），

∵△ABC有A-外截弧，

∴∠ABC<90°，

∴m>0，

当∠ACB=90°时，

∵A（5，0），B（0，0），

∴斜边AB的中点H的坐标为（2.5，0），

∴(m-2.5)2+(m-2)2=(2.5)2，

解得：m1=，m2=4，

∴∠ACB=90°时，点C坐标为（，）或（4，2），

∵直线解析式为y=x-2，

∴x=0时，y=-2，

∴与y轴交点为（0，-2），

∵△ABC有A-外截弧时，∠ACB<90°，

∴点C的纵坐标的取值范围为-2<y<或y>2.

②由①得x=或x=4时，∠ACB=90°，

∴C1（，），C2（4，2），

∴AC1=，AC2=，

∴的A-外截弧所在圆的半径r的取值范围为：<r<5或<r<5.