Question

如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．

（1）求证：CA是圆的切线；       
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．

Answer 1

解： （1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，
∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．
（2）在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;
在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;
∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,
∴BC=．即圆的直径为10.

（1）根据圆周角定理BC得到∠BDC=90°，推出∠ACD+∠DCB=90°，即BC⊥CA，即可判断CA是圆的切线；
（2）根据锐角三角函数的定义得到，，代入BC-EC=BE即可求出AC，进一步求出BC即可。