题目内容

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1， $数学公式$ ）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线的顶点为（1， $\text{[math]}$ ）
∴设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）²+ $\text{[math]}$
∵抛物线与y轴交于点C （0，4），
∴a （0-1）²+ $\text{[math]}$ =4
解得a=- $\text{[math]}$
∴所求抛物线的函数关系式为y=- $\text{[math]}$ （ x-1）²+ $\text{[math]}$

（2）P₁ （1， $\text{[math]}$ ），P₂ （1，- $\text{[math]}$ ），P₃ （1，8），P₄ （1， $\text{[math]}$ ），

（3）存在．
令- $\text{[math]}$ （ x-1）²+ $\text{[math]}$ =0，解得x₁=-2，x₂=4
∴抛物线y=- $\text{[math]}$ （ x-1）²+ $\text{[math]}$ 与x轴的交点为A （-2，0）B（4，0）
过点F作FM⊥OB于点M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
又∵OC=4，AB=6，
∴MF= $\text{[math]}$ ×OC= $\text{[math]}$ EB

设E点坐标为（x，0），则EB=4-x，MF= $\text{[math]}$ （4-x）
∴S=S_△BCE-S_△BEF= $\text{[math]}$ EB•OC- $\text{[math]}$ EB•MF
= $\text{[math]}$ EB（OC-MF）= $\text{[math]}$ （4-x）[4- $\text{[math]}$ （4-x）]
=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （ x-1）²+3
∵a=- $\text{[math]}$ ＜0，
∴S有最大值
当x=1时，S_最大值=3
此时点E的坐标为（1，0）．
分析：（1）将抛物线的顶点代入到抛物线的顶点式中得到y=a （ x-1）²+ $\text{[math]}$ ，然后将与y轴交于点C代入到上式中即可求得函数的解析式；
（2）利用等腰三角形的性质即可得到P点的坐标分别为P₁ （1， $\text{[math]}$ ），P₂ （1，- $\text{[math]}$ ），P₃ （1，8），P₄ （1， $\text{[math]}$ ）；
（3）求得抛物线与x轴的交点坐标，然后过点F作FM⊥OB于点M，利用△BEF∽△BAC即可得到函数关系式S=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，配方后即可求得最大值，从而求得E点的坐标．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．