Question

已知抛物线y=x²+（k+1）x+1与x轴的两个交点是A、B，抛物线顶点为C．
（1）写出有关抛物线的两条正确结论；
（2）已知点A（-2，0），求△ABC的面积；
（3）若点A、B不全在原点的左侧，△ABC恰为等边三角形，那么k的值是多少？

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）举出①抛物线开口向上；②抛物线与y轴交于点（0，1）．
（2）先求出k，再写出抛物线的解析式y=x²+

5

2

x+1=（x+

5

4

）²-

9

16

，求出点C的坐标．AB的距离，求出三角形的面积．
（3）求出点C的纵坐标，设A（x₁，0）、B（x₂，0），则x₁、x₂为方程x²+（k+1）x+1=0的两根，求出AB，由于△ABC为正三角形，有有

k2+2k-3

4

：

AB

2

=tan60°=

3

，得（

k2+2k-3

4

）²：

k2+2k-3

4

=3．求出k的值．

解答：解：（1）①抛物线开口向上；②抛物线与y轴交于点（0，1）．
（2）把x=-2，y=0代入y=x²+（k+1）x+1中，得0=（-2）²-2（k+1）+1，
∴k=

3

2

，
∴抛物线的解析式为y=x²+

5

2

x+1=（x+

5

4

）²-

9

16

．
∴C（-

5

4

，-

9

16

）
又当y=0时，即x²+

5

2

x+1=0，解得x₁=-2，x₂=-

1

2

，即B（-

1

2

，0）．
因此，AB=|-

1

2

-（-2）|=

3

2

∴S_△ABC=

1

2

×

3

2

×|-

9

16

|=

27

64

．
（3）据题知，抛物线的顶点必在y右侧，且在第四象限，即k+1＜0，即k＜-1．
由y=x²+（k+1）x+1可求得点C的纵坐标为

4-(k+1)2

4

=

-k2-2k+3

4

＜0．
又设A（x₁，0）、B（x₂，0），则x₁、x₂为方程x²+（k+1）x+1=0的两根，即x₁+x₂=-（k+1），x₁•x₂=1，
∴AB²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（k+1）²-4=k²+2k-3．
由于△ABC为正三角形，有

k2+2k-3

4

：

AB

2

=tan60°=

3

，
∴（

k2+2k-3

4

）²：（

AB

2

）²=3．
即∴（

k2+2k-3

4

）²：

k2+2k-3

4

=3．
∴k²+2k-15=0，
解得k=-5或k=3（舍去），
∴k=-5．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，根据根与系数的关系推出两点间的距离表达式，再利用三角函数和抛物线顶点坐标公式列出等式是解题的关键．另外，此题对同学们的计算能力要求较高，对用换元法解方程应当有一定程度的了解．