Question

如图，AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O分别与OA、OB的交点D、E恰好是OA、OB的中点，EF切⊙O于点E，交AB于点F．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求DF的长．

Answer 1

（1）证明：连结OC，

∵OA=OB，CA=CB，

∴OC⊥AB．

∵OC是半径，

∴AB是⊙O的切线．

（2）解：过点D作DM⊥AB于点M，

∵D、E分别是OA、OB的中点，⊙O的半径为2，

∴OD=OE=AD=BE=2．

∵OA=OB，∠A=30°，

∴∠B=∠A =30°．

∵EF切⊙O于点E，

∴EF⊥OE．

∴∠BEF =90°.

∴，．

在Rt中，∠A =30°，AD=2，

∴DM=1，．

在Rt中，∠A =30°，OA=4，

∴．．

∴．

在Rt中，．… 5分