Question

【题目】如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，并且满足BD=CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①；②∠DBC=∠DCB；③CE=AB+AE④∠BDC=∠BAC，其中正确的结论有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等；根据等边对等角可证明∠DBC=∠DCB；利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，CE＝BF，然后易证CE＝AB＋AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠DCE，利用“8字型”可证明∠BDC＝∠BAC．

解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴DE＝DF，

在Rt△CDE和Rt△BDF中，，

∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；

∵BD=CD，

∴∠DBC=∠DCB，故②正确；

在Rt△ADE和Rt△ADF中，，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE＝AF，

∵Rt△CDE≌Rt△BDF，

∴CE＝BF，

∴CE＝BF＝AB＋AF＝AB＋AE，故③正确；

∵Rt△CDE≌Rt△BDF，

∴∠DBF＝∠DCE，

∵∠AOB＝∠COD，（设AC交BD于O），

∴∠BDC＝∠BAC，故④正确；

综上所述，正确的结论有①②③④共4个．

故选：D．