Question

（本小题满分8分）如图，抛物线（＞0）与y轴交于点C,与x轴交于A 、B两点，点 A在点B的左侧，且．

 

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如果点D是线段AC下方抛物线上的动点，设D点的横坐标为x，△ACD的面积为S，求S与x的关系式，并求当S最大时点D的坐标；

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点的平行四边形？若存在求点P坐标；若不存在，请说明理由．

 

 

 

Answer 1

解：（1）由已知可得C（0，-3），

∵，∠COB=90°，∴ ，∴B（1,0） --------------- 1分

 

∵抛物线（＞0）过点B，

∴m+3m-3=0 ，  ∴m=

 

∴抛物线的解析式为 ------- 2分

 

（2）如图1，

 

∵抛物线对称轴为，B（1,0）

 

∴A（-4,0）

联结OD，

∵点D在抛物线上

 

∴设点D（x ，），则

 

 

=

 

=               ------------------------------------3分

 

∴S=                ---------------------------- 4分

 

∴当x=-2时，△ACD的面积S有最大值为6.

此时，点D的坐标为（-2，）．    ------------------------------- 5分

 

 

（3）①如图2，

当以AC为边，CP也是平行四边形的边时， CP∥AE，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，此时P（-3，-3）.

②如图3，

当以AC为对角线，CP为边时，此时P点的坐标是（-3，-3）--------- 6分

③如图4、图5，

当以AC为边，CP是平行四边形的对角线时，点P、C到x轴的距离相等，则=3，

 

解得，此时P（，3）（如图4）

 

或（，3）（如图5）  ----------------- 7分

 

综上所述，存在三个点符合题意，分别是（-3，-3），（，3），

 

（，3）．     ----------------------------------------- 8分

 

解析:略