Question

（本小题满分7分）

如图，已知抛物线y₁=-x²+bx+c经过A(1,0)，B(0,-2)两点，顶点为D．

1.（1）求抛物线y₁ 的解析式；

2.（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°后，得到△AO′ B′ ，将抛物线y₁沿对称轴平移后经过点B′ ，写出平移后所得的抛物线y₂ 的解析式；

3.（3）设（2）的抛物线y₂与轴的交点为B₁，顶点为D₁，若点M在抛物线y₂上，且满足△MBB₁的面积是△MDD₁面积的2倍，求点M的坐标．

 

Answer 1

 

1.解：(1)已知抛物线y₁=-x²+bx+c经过点A(1,0)， B(0,-2)，       

∴    解得

∴ 所求抛物线的解析式为y₁=-x² +3x-2

2.（2）解法1： ∵ A(1,0)，B(0,-2)， ∴ OA=1,OB=2．

      由旋转性质可得O′A=OA=1，O′B′=OB=2．

∴B′ 点的坐标为 (3，-1) ．

      ∵ 抛物线y₁的顶点D(,)，且抛物线y₂ 是由y₁沿对称轴平移后得到的，

∴ 可设y₂ 的解析式为y₂=- (x -)²+k ．

∵ y₂经过点B′，∴ - (3 -)² +k= -1．解得k=．

∴ y₂=- (x -)² +．…………………………………………………………… 4′

解法2：同解法1 得B′ 点的坐标为 (3，-1) ．

∵ 当x=3时，由y₁=-x² +3x-2得y=-2，可知抛物线y₁过点 (3，-2) ．

∴ 将抛物线y₁沿y轴向上平移1个单位后过点B′．

∴ 平移后的抛物线y₂的解析式为：y₂=-x² +3x-1

3.（3）∵ y₁=-x²+3x-2= -(x-)² +，y₂=-x² +3x-1= -(x-)² +，

∴ 顶点D(,)，D₁(,)． ∴DD₁=1．

又B₁(0，-2)，B₁(0，-1)，∴ BB₁=1．

 设M点坐标为(m，n) ，

∵BB₁=DD₁，由，

可知当m≤0时，符合条件的M点不存在；…………………………………… 5′

  而当0<m<时，有m=2(-m)，解得m=1；

当m>时，有m=2(m -)，解得m=3．

当m=1时，n=1； 当m=3时，n=-1．

∴ M₁(1,1)，M₂ (3,-1)．

解析:略