Question

12．课题学习
问题背景1  甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1，E是边长为a的正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，
（1）①在图中画出旋转后的图形；
②图1中，与线段AE垂直的线段是AK⊥AE，说明你的理由．
问题背景2  如图2，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，点F为BC上一点，点E为DC上一点，∠EAF的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N，连接EF，继续探索时，甲认为：线段BF、EF和DE之间存在着关系式EF=BF+DE；乙认为△CEF的周长是一个恒定不变的值；丙认为：线段BN、MN和DM之间存在着关系式BN²+DM²=MN²
（2）请你对甲、乙、丙三人中一个结论进行研究，作出判断，并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据图形旋转前后所构成的两图形全等画出图形即可；
（2）①选择甲，延长CB到K，使BK=DE，连AK，由图形旋转的性质可得△AKB≌△AED，可得出∠KAF=∠FAE，进而可得出△AKF≌△AEF，由全等三角形的性质及BK=DE可得出EF=BF+DE；
②选择乙，延长CB到K，使BK=DE，连AK，由图形旋转的性质可得△AKB≌△AED，由全等三角形的性质可得到△AKF≌△AEF，再根据BK=DE即可得出△CEF周长为定值；
③选择丙，在AK上截取AG=AM，连接BG，GN，由图形旋转的性质可得△ABG≌△ADM，△GAN≌△NAM，再由勾股定理即可得出BN²+DM²=MN²．

解答 解：画图如图1，

延长CB至K，使BK=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ADE=∠ABK=∠BAD=90°，
∴△ADE≌△ABK，
∴∠DAE=∠BAK，
∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=∠DAK+∠BAE=∠BAD=90°，
∴AK⊥AE．
故答案为AK⊥AE．
（2）选择甲发现：
证明：如图2，

延长CB到K，使BK=DE，连AK，则△AKB≌△AED，
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE．
∵AK=AE，AF=AF，
∴△AKF≌△AEF．
∴KF=EF．
又∵BK=DE，
∴EF=BF+DE
选择乙发现：
证明：如图2，

延长CB到K，使BK=DE，连AK，则△AKB≌△AED
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE．
∵AK=AE，AF=AF，
∴△AKF≌△AEF．
∴KF=EF．
又∵BK=DE，
∴EF=BF+DE
△CEF周长=CF+CE+EF
=CF+CE+（BF+DE）
=（CF+BF）+（CE+DE）
=BC+DC=2a（定值）
选择丙发现：
证明：如图3，

在AK上截取AG=AM，连接BG，GN．
∵AG=AM，AB=AD，∠KAB=∠EAD，
∴△ABG≌△ADM，
∴BG=DM，∠ABG=∠ADB=45°．
又∵∠ABD=45°，
∴∠GBD=90°．
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE．
又∵AG=AM，AN=AN，
∴△GAN≌△NAM．
∴NG=MN，
∵∠GBD=90°，
∴BG²+BN²=NG²，
∴BN²+DM²=MN²．
综上所述：甲、乙、丙三名同学的发现都是正确的．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直的判定方法，解本题的关键是三角形的全等的判定．