Question

我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C₁，把锅盖纵断面的抛物线记为C₂．

（1）求C₁和C₂的解析式；

（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C₁于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；

（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C₁或C₂上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=x²﹣3（﹣3≤x≤3），y=﹣x²+1（﹣3≤x≤3）（2）P₁（，0）、P₂（﹣，0）（3）（），

【解析】解：（1）∵抛物线C₁、C₂都过点A（﹣3，0）、B（3，0），

∴设它们的解析式为：y=a（x﹣3）（x+3）。

∵抛物线C₁还经过D（0，﹣3），∴﹣3=a（0﹣3）（0+3），解得a=。

∴抛物线C₁：y=（x﹣3）（x+3），即y=x²﹣3（﹣3≤x≤3）。

∵抛物线C₂还经过A（0，1），∴1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣

∴抛物线C₂：y=﹣（x﹣3）（x+3），即y=﹣x²+1（﹣3≤x≤3）。

（2）∵直线BE：y=x﹣1必过（0，﹣1），∴∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=）。

∵由E点坐标可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO，

∴它们的补角∠EOB≠∠CBx。

若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，只需考虑两种情况：

①∠CBP₁=∠EBO，且OB：BE=BP₁：BC，

由已知和勾股定理，得OB=3，BE=，BC=。

∴3：=BP₁：，

得：BP₁=，OP₁=OB﹣BP₁=。∴P₁（，0）

②∠P₂BC=∠EBO，且BC：BP₂=OB：BE，即：

：BP₂=3：，得：BP₂=，OP₂=BP₂﹣OB=。∴P₂（﹣，0）．

综上所述，符合条件的P点有：P₁（，0）、P₂（﹣，0）。

（3）如图，作直线l∥直线BE，

设直线l：y=x+b。

①当直线l与抛物线C₁只有一个交点时：

x+b=x²﹣3，即：x²﹣x﹣（3b+9）=0。

由△=（－1）²＋4（3b+9）=0。得。

此时，。

∴该交点Q₂（）。

过点Q₂作Q₂F⊥BE于点F

，则由BE：y=x﹣1可用相似得Q₂F的斜率为－3，

设Q₂F：y=－3x＋m。将Q₂（）代入，可得。∴Q₂F：y=－3x。

联立BE和Q₂F，解得。∴F（）。

∴Q₂到直线 BE：y=x﹣1的距离Q₂F：。

②当直线l与抛物线C₂只有一个交点时：x+b=﹣x²+1，即：x²+3x+9b﹣9=0。

由△=3²＋4（9b－9）=0。得。

此时，。∴该交点Q₁（）。

同上方法可得Q₁到直线 BE：y=x﹣1 的距离：。

∵，

∴符合条件的Q点为Q₁（）。

∴△EBQ的最大面积：。

（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式。

（2）根据直线BE：y=x﹣1知，该直线必过（0，﹣1）点，那么∠EBO=∠CBO，若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，那么夹这组对应角的对应边必成比例，先求出BC、BO、BE的长，然后分情况根据线段间的比例关系求出BP的长，进而得到OP的长，即可确定P点坐标。

（3）△EBQ中，BE长为定值，若以BE为底，当△EBQ的面积最大时，Q到直线BE的距离最大；由于点Q可能在抛物线C₁或C₂上，因此两种情况都要解一下，最后通过比较得到能使△EBQ面积最大的Q点．首先作直线l∥BE，分别令直线l与抛物线C₁、C₂有且仅有一个交点，那么符合条件的Q点必在这两个交点中，先求出这两个交点分别到直线BE的距离，距离大者符合条件，由此可得到Q点坐标和△EBQ的面积最大值