Question

（2012•永安市质检）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A在x轴的正半轴上，BC与y轴较于点D，点C的坐标为（-3，4）．
（1）点A的坐标为

（5，0）

；
（2）求过点A、O、C的抛物线解析式，并求它的顶点坐标；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得一点A、O、P为顶点的三角形与△COD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由菱形的性质得OC=OA=BC，则OD⊥BC，由勾股定理得出OC，即可求出点A的坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=ax（x-5），把C（-3，4）代入，解方程求得a的值，即可得出抛物线的解析式；
（3）由菱形的对角相等可知∠OCD=∠OAB，则以点A、O、P为顶点的三角形与△COD相似时，分两种情况：①当∠AOP=∠ODC=90°（点P在y轴上）时，△APO∽△COD；②当∠OPA=∠ODC=90°时，△AOP≌△COD，根据相似三角形的性质即可求解．

解答：解：（1）∵四边形OABC为菱形，
∴BC∥OA，OC=OA=BC，
∵OD⊥OA，
∴OD⊥BC，
∵C（-3，4），
∴CD=3，OD=4，
∴OC=

OD2+CD2

=5，
∴A（5，0）．
故答案为：（5，0）；

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x-5），
把C（-3，4）代入得24a=4，
解得a=

1

6

，
则y=

1

6

x（x-5）=

1

6

x²-

5

6

x．
∵y=

1

6

（x-

5

2

）²-

25

24

，
∴顶点坐标为（

5

2

，-

25

24

）；

（3）∵∠OCD=∠OAB，∠ODC=90°，OC=5，OD=4，CD=3，
∴分两种情况：
①当∠AOP=∠ODC=90°（点P在y轴上）时，△APO∽△COD，
则

AO

CD

=

PO

OD

，即

5

3

=

PO

4

，
解得PO=

20

3

，此时P（0，

20

3

）；
②当∠OPA=∠ODC=90°时，△AOP≌△COD，则OP=OD=4，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△OPM∽△OCD，

PM

CD

=

OM

OD

=

OP

OC

，可得PM=

12

5

，OM=

16

5

，此时P（

16

5

，

12

5

）；
综上所述，存在符合要求的点P，它的坐标为（0，

20

3

）或（

16

5

，

12

5

）．

点评：本题是一道二次函数的综合题，考查了菱形的性质、用待定系数法求二次函数的解析式以及相似三角形的性质，注意分类讨论思想的运用．