题目内容
已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．（1）求C1的顶点坐标；
（2）在如图所示的直角坐标系中画出C1的大致图象．
（3）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（-3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；
（4）若P（n，y1），Q（1，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．
分析：（1）先把二次函数的解析式化为顶点式的形式，求出其对称轴方程，再根据抛物线与x轴只有一个交点即可得出其顶点坐标；
（2）在直角坐标系内画出此函数的图象即可；
（3）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，再把A（-3，0）代入可求出k的值，进而得出C2的函数关系式，再抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知它与x轴的另一个交点坐标；
（4）把x=1代入函数解析式求出y2的值，根据函数图象即可得出结论．
（2）在直角坐标系内画出此函数的图象即可；
（3）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，再把A（-3，0）代入可求出k的值，进而得出C2的函数关系式，再抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知它与x轴的另一个交点坐标；
（4）把x=1代入函数解析式求出y2的值，根据函数图象即可得出结论．
解答：
解：（1）∵二次函数y=x2+2x+m可化为y=x2+2x+m=（x+1）2+m-1，
∴对称轴为x=-1，
∵与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，即m=1，
∴C1的顶点坐标为（-1，0）；
（2）∵C1的顶点坐标为（-1，0）
∴此函数的解析式为y=（x+1）2，
其图象如图所示．
（3）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，
∵C2与x轴的一个交点为A（-3，0）
∴把A（-3，0）代入得（-3+1）2+k=0，得k=-4，
∴C2的函数关系式为y=（x+1）2-4．
∵抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）．
（4）∵Q（1，y2）是C1上的点，
∴当x=1时，y2=4，即Q（1，4），
∴n＞1或n＜-3时，y1＞y2．
解：（1）∵二次函数y=x2+2x+m可化为y=x2+2x+m=（x+1）2+m-1，∴对称轴为x=-1，
∵与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，即m=1，
∴C1的顶点坐标为（-1，0）；
（2）∵C1的顶点坐标为（-1，0）
∴此函数的解析式为y=（x+1）2，
其图象如图所示．
（3）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，
∵C2与x轴的一个交点为A（-3，0）
∴把A（-3，0）代入得（-3+1）2+k=0，得k=-4，
∴C2的函数关系式为y=（x+1）2-4．
∵抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）．
（4）∵Q（1，y2）是C1上的点，
∴当x=1时，y2=4，即Q（1，4），
∴n＞1或n＜-3时，y1＞y2．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到二次函数的几何变换、二次函数的图象及二次函数与x轴的交点问题等知识，难度适中．
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