Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C，交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0）（A点在B点左侧），顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC＝∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）A'（1，4）；（3）存在，点P的坐标为（，﹣）或（，2+）．

【解析】

（1）先判断出抛物线的二次项系数，再根据交点式，即可得出结论；

（2）先判断出∠ACB＝90°，进而得出AA'的中点恰好是点C，利用中点坐标公式即可得出结论；

（3）分点P在直线BC下方和上方，判断出点P在△ABC（或△A'BC的外接圆上，求出此圆的半径和圆心O'的坐标，即可得出结论．

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2，

（2）如图，

由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，

则点C（0，2），

∵B（4，0），A（﹣1，0），

∴OA＝1，OB＝4，

∴＝＝，

∵∠AOC＝∠COB＝90°，

∴△AOC∽△COB，

∴∠ACO＝∠CBO，

∵∠OCB+∠OBC＝90°，

∴∠ACO+∠OCB＝90°，

∴∠ACB＝90°，

由折叠知，点A'与A关于BC对称，

则AA'与BC的交点恰为点C，

即点C是AA'的中点，

设点A（m，n），

则＝0，＝2，

∴m＝1，n＝4，

∴A'（1，4）；

（3）如图，当点P在直线BC的下方时，

由（2）知，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，

作Rt△ABC的外接圆，则圆心为抛物线与x轴的交点，记作O'，

∴O'（，0），⊙O'半径为，

∴O'P＝，设点P的坐标为（，a），

∴O'P＝﹣a，

∴﹣a＝，

∴a＝﹣，

∴P（，﹣）；

如图，当点P在直线BC上方时，

由（2）知，A'（1，4），

由折叠知，△A'BC是以A'B为斜边的直角三角形，作Rt△A'BC的外接圆，记圆心为O'，O'是A'B的中点，

∵B（4，0），

∴O'（，2），⊙O'的半径为，

∵∠BPC＝∠BAC，

∴点P在⊙O'上，

∴O'P＝

设点P（，d）（d＞1），

∴O'P＝＝

∴d＝2﹣（舍）或d＝2+，

∴P（，2+），

即满足条件的点P的坐标为（，﹣）或（，2+）．