Question

在平面直角坐标系中，抛物线经过点（-1，a ），（3，a），且最小值为-4

（1）求抛物线表达式及a的值；

（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图像G（包含A，B两点）.若直线DP与图像G有两个公共点，结合函数图像，求点P纵坐标t的取值范围.

Answer 1

（1）y=2x2-4x-2. a的值为4；(2) -4<t≤

【解析】

试题分析：（1）有题意可知抛物线的顶点坐标，所以把解析式写成顶点式再化成一般式即可，把点带入解析式就可求出a；

（2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围．

试题解析：（1）∵抛物线经过A(-1,a)，B（3，a）,

∴抛物线的对称轴x=1，又∵最小值为-4,

∴顶点坐标C（1，-4）.

∴抛物线表达式为y=2（x-1）2-4

即抛物线表达式y=2x2-4x-2.

把（-1，a）代入y=2x2-4x-2，解得a=4.

∴a的值为4.

（2）∵D点与C点关于y轴对称,∴D点坐标为（-1，-4）

由（1）知：B（3，4）

设直线DB的表达式为y=kx+b

把D(-1,-4)，B（3，4）代入：y=kx+b

∴. 解得.

∴直线BD的表达式为：y=x.

设P（1，t），把P（1，t）代入y=x

解得t=0.又∵抛物线的顶点坐标C（1，-4）.

∴t=-4.∴-4<t≤

考点：求函数解析式，函数应用.